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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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2. Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
b) ∑n=0∞3n+4n+15n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+4^{n+1}}{5^{n}}

Respuesta

Este ejercicio también lo vamos a resolver siguiendo los mismos razonamientos que vimos en la clase de Serie geométrica. Si empezamos a reescribir nuestra serie para que nos aparezcan las geométricas, nos quedaría...

∑n=0∞3n+4n+15n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+4^{n+1}}{5^{n}}

Distribuimos el denominador:

∑n=0∞3n5n+∑n=0∞4n+15n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}}{5^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{5^n}

Usamos propiedades de potencias: ∑n=0∞(35)n+∑n=0∞(45)n⋅4\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n + \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{5})^{n} \cdot 4 ∑n=0∞(35)n+4⋅∑n=0∞(45)n\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n + 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{5})^n

¡Listoooo! Logramos que nos aparezcan dos series geométricas que empiezan en n=0n=0 y nosotros sabemos calcular su suma: ∑n=0∞(35)n=11−35= 52 \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n = \frac{1}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{5}{2} 
∑n=0∞(45)n=11−45=5\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{5})^n = \frac{1}{1 - \frac{4}{5}} = 5

Reemplazamos estos resultados en nuestra expresión: ∑n=0∞(35)n+4⋅∑n=0∞(45)n=52+4⋅5=452 \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n + 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{5})^n = \frac{5}{2} + 4 \cdot 5 = \frac{45}{2}

Por lo tanto, la serie converge a 452\frac{45}{2}
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