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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+4^{n+1}}{5^{n}}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+4^{n+1}}{5^{n}}$
Respuesta
Este ejercicio también lo vamos a resolver siguiendo los mismos razonamientos que vimos en la clase de Serie geométrica. Si empezamos a reescribir nuestra serie para que nos aparezcan las geométricas, nos quedaría...
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$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+4^{n+1}}{5^{n}}$
Distribuimos el denominador:
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}}{5^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^{n+1}}{5^n} $
Usamos propiedades de potencias:
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n + \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{5})^{n} \cdot 4 $
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n + 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{5})^n $
¡Listoooo! Logramos que nos aparezcan dos series geométricas que empiezan en $n=0$ y nosotros sabemos calcular su suma:
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n = \frac{1}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{5}{2} $
$\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{5})^n = \frac{1}{1 - \frac{4}{5}} = 5$
Reemplazamos estos resultados en nuestra expresión:
$ \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{5})^n + 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{4}{5})^n = \frac{5}{2} + 4 \cdot 5 = \frac{45}{2}$
Por lo tanto, la serie converge a $\frac{45}{2}$